Invention des distributions (3/4)

Suivront des notions relatives aux cordes vibrantes et aux fonctions harmoniques, les solutions généralisées d'équations aux dérivées partielles, les parties finies d'intégrales divergentes (Hadamard), les théorèmes de dualité dans les espaces vectoriels topologiques, les courants de De Rham. Parallèlement à L. Schwartz, d'autres chercheurs tentent des approches très similaires. Les fonctionnelles de Sobolev ont été inventées pour résoudre ce type de problème, mais dans un cas très particulier et il n'y a pas eu de généralisation. L'invention de portée générale demande un certain recul par rapport à la problématique. Ce point crucial se retrouve dans nombre de découvertes et sera approfondi par la suite.

Le déclencheur sera l'article de Choquet‑Deny sur les propriétés des moyennes caractéristiques des fonctions harmoniques et poly-harmoniques. Schwartz tentera une généralisation de cet article, mais les dérivées p-ièmes des fonctions n'avaient pas de sens individuel. Il fallait donc inventer un nouveau concept, différent des fonctions, et introduire une rupture dans la théorie existante.

La première solution sera celle des opérateurs, indéfiniment dérivables et où l'ordre des dérivations pourrait être interverti. Une fonction dérivable aura quand même des dérivées, mais ce seront des opérateurs et non des fonctions. Mais cette notion d'opérateur pose problème avec la convolution quand il s'agit de définir leur transformée de Fourier. Un nouveau pas sera alors franchi et les distributions inventées pour résoudre ce dernier problème.