Invention des distributions (2/4)

Parlons donc un peu des précurseurs. L'objectif, rappelons-le, est de généraliser la notion de fonction pour résoudre le problème de la dérivation de fonction non dérivable de manière classique en certains points. La solution sera la distribution qui sera dérivable indéfiniment, chaque dérivée étant elle-même une distribution. On vérifiera par la suite si la distribution est une fonction ou non. 

Peano en 1912 eut le premier l'intuition de ce qu'il fallait rechercher: "Il doit exister une notion de fonctions généralisées qui sont aux fonctions ce que les réels sont aux rationnels". N'oublions pas que Peano avait inventé une courbe non dérivable en tout point recouvrant le plan, que l'on qualifierait maintenant de fractale de dimension 2. Ce monstre a certainement dû lui inspirer la réflexion sur les fonctions généralisées. 

Parmi les précurseurs, il y aura Heaviside et sa fonction échelon (pas de dérivée à l'origine) et Dirac qui invente l'impulsion, dérivée infinie de cet échelon, notion plus physique que mathématique à ce moment-là et qui correspondra à l'élément neutre de la convolution. Les calculs symboliques de Heaviside seront rejetés car ils n'étaient pas justifiés mathématiquement, alors qu'ils donnaient des résultats physiques justes. La justification ne viendra que via la transformation de Laplace (Wiener, Carson, 1926, Vanderpol, 1932). De même pour la fonction de Dirac, qui trouvera son salut grâce aux distributions. Les outils mathématiques sont souvent en retard sur les besoins des calculs physiques et nombre de physiciens se sont vus pénalisés parce que leur théorie n'était pas suffisamment étayée d'un point de vue mathématique alors que les résultats comparés à l'expérimental étaient tout à fait concluants.