Naissance et interprétation de la mécanique ondulatoire (2/3)

Une première confirmation théorique viendra de Schrödinger en 1926 qui va interpréter le carré de l'amplitude de l'onde comme étant la probabilité d'existence de la particule. Puis viendra une confirmation expérimentale de l'aspect ondulatoire de l'électron avec Davisson et Germer en 1927 qui réussiront à diffracter des électrons dans des cristaux.

L'interprétation de la dualité onde‑corpuscule divise alors les scientifiques. L'école de Copenhage, avec Bohr comme chef de file, tient pour une vue probabiliste et affirme le principe de complémentarité. Pour eux, seule l'onde a une signification : le carré de son amplitude détermine la probabilité de position de la particule et les coefficients de Fourier de la décomposition spectrale, la probabilité de quantité de mouvement.

L. de Broglie veut garder une interprétation déterministe et physique en établissant la théorie de la double solution. Il tente d'associer deux ondes de même phase (point clé de la théorie) mais d'amplitudes différentes, l'une représentant une singularité (corpuscule), l'autre restant continue et support de l'onde associée au corpuscule. Inspiré par Hamilton et Jacobi, pour qui les trajectoires des particules sont des courbes orthogonales aux surfaces d'égale phase de l'onde associée, de Broglie fera décrire au cours du temps à la singularité mobile une trajectoire telle qu'en chaque point sa vitesse soit proportionnelle au gradient de phase de l'onde continue. On retrouve ainsi que la probabilité d'existence de la particule est décrite par le carré de l'amplitude de l'onde (Schrödinger), mais c'est issu simplement du fait, en optique, que la densité de l'énergie radiante est donnée par le carré de l'amplitude de l'onde lumineuse.

La théorie de la double solution est attrayante mais les difficultés du traitement mathématique feront que de Broglie se ralliera à l'interprétation non déterministe de Bohr à partir de 1928 et l'enseignera jusqu'en 1951.

Naissance et interprétation de la mécanique ondulatoire (1/3)

Avant 1924, les photons avaient déjà acquis leur double statut d'onde depuis Fresnel (milieu du XIXème) et de corpuscule avec Einstein en 1905. Les électrons, vecteurs de l'électricité, étaient alors considérés comme des grains de matière. L. de Broglie remarqua cependant, en faisant une analogie entre la mécanique et l'optique, que les nombres quantiques, caractérisant le comportement des électrons dans l'atome et récemment mis en évidence par Bohr, pouvaient être mis en parallèle avec les nombres entiers apparaissant en théorie des ondes (interférences et résonance). Comme pour le photon, l'électron devait donc présenter la dualité onde‑corpuscule. Au mouvement de tout corpuscule fut associée la propagation d'une onde dont la fréquence "f" fut reliée à l'énergie "W" et à la quantité de mouvement du corpuscule "p" via la constante de Planck "h" :

 f = W/h                        f = P/h

En l'absence de champ, un corpuscule animé d'un mouvement rectiligne uniforme est associé à la propagation, dans la direction du mouvement, d'une onde plane monochromatique d'amplitude constante et de phase linéaire en x y z t. La relation entre l'onde et le corpuscule passe par l'accord entre l'état de mouvement de la particule et la phase de l'onde associée. Pour établir les équations précitées, L. de Broglie partit de la réunion du principe de Fermat (optique) et du principe de moindre action de Maupertuis (mécanique). Hamilton avait déjà remarqué que la vitesse de phase de l'onde pour Fermat était l'inverse de la vitesse du corpuscule pour le principe de moindre action. Cela donnait déjà une relation entre la phase de l'onde et la particule. Mais pour être compatible avec la théorie des quanta et la relativité, c'est à dire :

W = mc² = h f (1)

de Broglie suppose que le corpuscule est le siège d'un phénomène périodique dont la fréquence est définie dans le système propre par :

M₀ c² = h f₀ (2)

Mais la fréquence du corpuscule est cyclique et se transforme, par les formules de la relativité, comme la fréquence d'une horloge et non comme celle d'une onde. La première se transforme à l'inverse d'une masse et la seconde de manière équivalente à une masse. C'est donc la seconde qui sera utilisée dans l'équation (1), l'égalité entre la fréquence cyclique et ondulatoire étant assurée par l'équation (2). Le mouvement cyclique interne reste en phase avec la vibration de l'onde au point où se trouve le corpuscule dans tout système de référence.

Invention des distributions (4/4)

Le résultat de la distribution convoluée à la fonction correspondra à celui de l'opérateur sur la fonction pour la valeur zéro.

Pour passer des opérateurs aux distributions, l'effort était de changer de définition et de remettre en cause tous les développements qui y étaient liés. De plus, pour résoudre le problème de la transformée de Fourier, il a fallu passer du support compact à un support non compact, avec décroissance rapide à l'infini. Ceci revenait à créer un espace fonctionnel particulier pour un problème particulier, ce qui représentait à l'époque une levée d'inhibition conséquente.

En résumé, pourquoi est-ce L. Schwartz l'inventeur des distributions plutôt qu'un autre?

‑ Il a répertorié le même problème en suspens dans beaucoup de domaines. Ces outils mathématiques étaient nombreux et éclectiques.

‑ Ce qui a entraîné un recul suffisant pour voir la portée de l'invention. Ce point a fait la différence avec ses contemporains attelés au même problème.

‑ La frustration de l'absence de sens individuel des dérivées de Choquet­-Deny a permis le déclenchement.

‑ La continuité par rapport aux précurseurs mais surtout la rupture au moment du changement de définition et la remise en cause du travail déjà accompli au cours du passage des opérateurs aux distributions.

‑ La levée d'une inhibition concernant l'adaptation de l'espace fonctionnel au problème traité, pratique peu usitée à cette époque.

L'invention des distributions correspond à un saut qualitatif, à l'apparition d'un nouveau concept. Ceci nécessite des qualités particulières suivant l'analyse de L. Schwartz: "La recherche nécessite un esprit très mobile, original, toujours prêt à des révolutions et très opiniâtre".

Invention des distributions (3/4)

Suivront des notions relatives aux cordes vibrantes et aux fonctions harmoniques, les solutions généralisées d'équations aux dérivées partielles, les parties finies d'intégrales divergentes (Hadamard), les théorèmes de dualité dans les espaces vectoriels topologiques, les courants de De Rham. Parallèlement à L. Schwartz, d'autres chercheurs tentent des approches très similaires. Les fonctionnelles de Sobolev ont été inventées pour résoudre ce type de problème, mais dans un cas très particulier et il n'y a pas eu de généralisation. L'invention de portée générale demande un certain recul par rapport à la problématique. Ce point crucial se retrouve dans nombre de découvertes et sera approfondi par la suite.

Le déclencheur sera l'article de Choquet‑Deny sur les propriétés des moyennes caractéristiques des fonctions harmoniques et poly-harmoniques. Schwartz tentera une généralisation de cet article, mais les dérivées p-ièmes des fonctions n'avaient pas de sens individuel. Il fallait donc inventer un nouveau concept, différent des fonctions, et introduire une rupture dans la théorie existante.

La première solution sera celle des opérateurs, indéfiniment dérivables et où l'ordre des dérivations pourrait être interverti. Une fonction dérivable aura quand même des dérivées, mais ce seront des opérateurs et non des fonctions. Mais cette notion d'opérateur pose problème avec la convolution quand il s'agit de définir leur transformée de Fourier. Un nouveau pas sera alors franchi et les distributions inventées pour résoudre ce dernier problème.

Invention des distributions (2/4)

Parlons donc un peu des précurseurs. L'objectif, rappelons-le, est de généraliser la notion de fonction pour résoudre le problème de la dérivation de fonction non dérivable de manière classique en certains points. La solution sera la distribution qui sera dérivable indéfiniment, chaque dérivée étant elle-même une distribution. On vérifiera par la suite si la distribution est une fonction ou non. 

Peano en 1912 eut le premier l'intuition de ce qu'il fallait rechercher: "Il doit exister une notion de fonctions généralisées qui sont aux fonctions ce que les réels sont aux rationnels". N'oublions pas que Peano avait inventé une courbe non dérivable en tout point recouvrant le plan, que l'on qualifierait maintenant de fractale de dimension 2. Ce monstre a certainement dû lui inspirer la réflexion sur les fonctions généralisées. 

Parmi les précurseurs, il y aura Heaviside et sa fonction échelon (pas de dérivée à l'origine) et Dirac qui invente l'impulsion, dérivée infinie de cet échelon, notion plus physique que mathématique à ce moment-là et qui correspondra à l'élément neutre de la convolution. Les calculs symboliques de Heaviside seront rejetés car ils n'étaient pas justifiés mathématiquement, alors qu'ils donnaient des résultats physiques justes. La justification ne viendra que via la transformation de Laplace (Wiener, Carson, 1926, Vanderpol, 1932). De même pour la fonction de Dirac, qui trouvera son salut grâce aux distributions. Les outils mathématiques sont souvent en retard sur les besoins des calculs physiques et nombre de physiciens se sont vus pénalisés parce que leur théorie n'était pas suffisamment étayée d'un point de vue mathématique alors que les résultats comparés à l'expérimental étaient tout à fait concluants.

L'invention des distributions (1/4)

Les distributions, notion inventée par L. Schwartz en 1945, sont un outil très prisé par les physiciens. Elles permettent en effet de tenir compte de singularités dans les fonctions. Auparavant, seules les fonctions suffisamment régulières pouvaient être dérivées ou intégrées. La méthode d'intégro­-différentiation initiée par Leibniz au XVIII ème siècle est à la base des calculs dans tous les domaines de la physique. Le fait de pouvoir traiter des fonctions à singularités apparaissant fréquemment dans les phénomènes physiques, ouvrait donc un champ immense de connaissances nouvelles. Ce saut conceptuel fut à juste titre couronné par une médaille Fields, l'équivalent du prix Nobel pour les mathématiciens.

L. Schwartz décrit avec précision et humour la démarche intellectuelle qui l'a conduit à cette invention dans son autobiographie parue en 1997, "Un mathématicien aux prises avec le siècle" (55). Il décrit le processus de découverte comme étant quasi instantané. Ce fait est souvent relaté dans la littérature et l'exemple le plus souvent repris est sans doute celui de Poincaré inventant en une seule nuit la théorie des fonctions fuchsiennes. Schwartz fait ici une analogie avec le phénomène de percolation; la connectivité augmente régulièrement, mais la percolation est subite lorsque le chemin construit peu à peu finit par déboucher. Mais que l'on ne s'y trompe pas; il ne s'agit que de la partie émergée de l'iceberg: "II est bien évident que le processus n'est pas concevable si l'on n'imagine pas de nombreuses réflexions antérieures restées infructueuses mais emmagasinées dans le cerveau. Un déclic survenant à l'occasion d'une circonstance particulière réunit parfois les chemins ébauchés. Il s'agit d'un phénomène essentiel pour la découverte. Sans prédécesseurs, sans antécédents, c'est à dire ici des mathématiciens qui ont trouvés des résultats partiels, il n'y aurait pas non plus de découverte scientifique".

Introduction à la démarche créative

La démarche créative
Nous tenterons tout d'abord, à partir d'exemples de découvertes pris dans le XIXème et le XXème siècles de dégager les grands traits de la démarche créative, puis nous expliciterons l'apport d'une méthode très féconde, celle des analogies. Enfin nous ferons une incursion dans le domaine des origines de l'inspiration en recherchant ses sources mais aussi en tentant d'expliciter le pourquoi des obstacles épistémologiques qui empoisonnent parfois l'avancée si lumineuse de la Science.

Le "cri d'Archimède" et la créatique 
" L'histoire des sciences nous fournit de précieux renseignements sur le cheminement de la pensée placée en face des grands problèmes que lui pose l'existence des phénomènes. Tantôt nous y voyons les esprits curieux de science observer minutieusement les phénomènes, les classer suivant leurs analogies ou tenter de deviner leur parenté; tantôt nous les voyons essayer de rassembler l'explication de ces phénomènes dans de vastes théories et, à l'aide de synthèses hardies que souvent rend seule possible une sorte d'illumination intérieure, d'apercevoir les liens cachés qui les unissent". L. de Broglie nous fournit ici une introduction idéale pour ce paragraphe.